'1 − 1 + 1 − 1 +...', a curiosa explicaçãoroulette amatemático sobre como Deus criou o mundo:roulette a

A matemática poderia explicar o significado da vida, do universo eroulette atodo o resto?

Vai saber. Mas sempre vale tentar.

Uma das tentativasroulette ademonstrar a probabilidaderoulette aalgo tão desconcertante como o inícioroulette atudo foi com algo que está representado como você vê na imagem acima.

Com ∑, ∞ e vários n pode parecer um pouco intimidador.

Mas tudo isso pode ser representadoroulette aoutra forma: 1 − 1 + 1 − 1 +…

São operações simples, mas se as repetirmos ao infinito, tornam-se uma soma que ocupou os maiores matemáticos desde o século 18.

A grande questão era: qual é o resultado dessa soma infinita?

Uma resposta intuitivamente óbvia é que não há resposta: se continuar infinitamente, se alterará entre 0 e 1 sem nunca chegar a valor único.

No entanto, essa é apenas uma das 4 opções consideradas ao longo do tempo.

E talvez a mais surpreendente seja que a que mais convenceu o primeiro matemático a chamar a atenção para este quebra-cabeça conhecido como série Grandi.

O instigador

Luigi Guido Grandi (1671 - 1742) foi um padre, filósofo, matemático e engenheiro nascidoroulette aCremona, hoje na Itália.

Seu interesse pela matemática demorou a surgir, mas com seu primeiro livro, Geometrica divinatio Vivianeorum problematum, publicadoroulette a1699, ele ganhou reconhecimento no seu eroulette aoutros países.

Sua reputação o levaria a virar,roulette a1707, o matemático da corte do Grão-Duque da Toscana, Cosme 3ºroulette aMedici, e no cargo foi responsável por importantes projetosroulette aengenharia, incluindo a drenagem do Valeroulette aChianna.

Também colaborou na publicação da primeira edição das obrasroulette aGalileu Galilei (1718), publicou uma versão italiana dos Elementosroulette aEuclides (1731), aconselhou o Papa Clemente sobre a reforma do calendário e introduziu na Itália as ideiasroulette aGottfried Leibniz sobre cálculo.

Admirado também no exterior, tornou-se membro da prestigiada Royal Society of Londonroulette a1709, depoisroulette aIsaac Newton publicar seu trabalho sobre teoria musical.

Umaroulette asuas obras mais admiradas foi o estudo da rosa polar, uma famíliaroulette acurvas que lembram flores, que chamou de rhodoneas (do grego rhodon, rosa),roulette aseu livro Flores Geometrici (1725).

Mas foi uma outra obraroulette aque despertou não só o interesseroulette aseus pares, mas também uma acalorada polêmicaroulette atorno da série que leva seu nome.

0, 1, 1/2

O livro, publicadoroulette a1703 e com o títuloroulette aQuadratura do Círculo e da Hipérbole, continha um resultado que chamou bastante atenção.

Grandi estudou aquela soma infinitaroulette a1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

E observou que adicionando parênteses, chegava-se a resultados diferentes.

(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1)... resultavaroulette a0 + 0 + 0..., que é igual a 0.

Mas se fosse escrito assim: 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1)... então a soma seria 1 + 0 + 0 + 0..., o que daria 1.

Isso por si só já era surpreendente.

Mais surpreendente ainda foi ele afirmar que a somaroulette ainfinitos 0s é igual a 1/2.

roulette a Grandi preferiu explicar esse resultado com uma parábolaroulette aque imaginava dois irmãos que herdaram dos pais uma joia valiosa.

Eles foram proibidosroulette avendê-la e dividi-la à metade destruiria seu valor.

Os irmãos concordaram que alternariam a propriedade da joia, trocando todo diaroulette aAno Novo.

Supondo que o acordo continuasse indefinidamente, então, do pontoroulette avistaroulette acada irmão, a propriedade da joia pode ser representada pela série

1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

Assim, cada irmão possui a joia pela metade do tempo, então o valor desta série seria 1/2.

Você pode ficar surpreso, mas vários matemáticos relevantes da época concordaram que essa era a resposta.

O renomado Leibniz chegou à mesma conclusão por outros métodos e declarou que 1/2 era a resposta que lhe parecia correta, embora reconhecesse que o argumento era mais "metafísico do que matemático".

O suíço Leonhard Euler, um dos maiores e mais prolíficos matemáticosroulette atodos os tempos, fez seus próprios cálculos e escreveuroulette a1760:

“Não pode restar dúvidaroulette aque,roulette afato, a série 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + etc. e a fração 1/2 são quantidades equivalentes e que é sempre permitido substituir uma pela outra sem erro."

Tal como eles, outros matemáticosroulette atoda a Europa discutiram a série infinita, chegando a suas próprias conclusões.

Mas um deles,roulette aparticular, não gostou muito das ideiasroulette aGrandi.

Do nada a tudo

Alessandro Marchetti (1633 - 1714) era o professorroulette amatemática na Universidaderoulette aPisa e ressentiu-se da fama internacionalroulette aGrandi.

Tentando desacreditá-lo, criticou duramente seu livro.

Em resposta, Grandi publicou uma segunda ediçãoroulette aQuadratura...roulette a1710.

Mas desta vez ele foi autorizado a incluir um comentário que os censores haviam exigido que fosse removido da versão anterior, condição com a qual ele concordou, não sem relutância.

Era uma afirmação ainda mais surpreendente do que os resultados que ele tinha obtido.

Sua reflexão foiroulette aque ao se adicionar parênteses à expressão 1 − 1 + 1 − 1 + · · · era possível obter,roulette amaneiras diferentes, 1 ou 0, “então a ideiaroulette acriação ex nihilo era perfeitamente plausível”.

A criação ex nihilo é a criação a partir do nada.

Além disso, se uma quantidade finita podia ser obtida a partirroulette auma soma infinitamente prolongadaroulette azeros, era necessário “reconhecer aquele poder infinito”, uma força que mesmo “multiplicando o queroulette asi não é nada, transforma-oroulette aalgo, da mesma forma que, dividindo uma magnitude finita, força-a a degenerarroulette anada."

E tinha sido “pelo poder infinito do Deus Criador que todas as coisas foram feitas do nada, e todas as coisas podem ser reduzidas ao nada”.

Assim, Grandi parecia ter chegado a uma prova matemáticaroulette aque Deus havia criado tudo do nada.

É claro que isso serviu para jogar lenha na fogueira: Marchetti publicou então um ataque a essa segunda ediçãoroulette a1711, ao qual Grandi respondeu com outro artigoroulette a1712.

A polêmica continuou até a morteroulette aMarchetti,roulette a1714.

O interesse pela sérieroulette aGrandi, no entanto, persistiu.

Embora seus argumentos não resistam ao escrutínio matemático moderno, existe um marco para somas infinitasroulette aque a sérieroulette aGrandi é igual a 1/2.

É conhecida como somaroulette aCesàro,roulette ahomenagem ao matemático italiano Ernesto Cesàro, do final do século 19.

No entanto,segundo diversas fontes, a opinião geral dos matemáticos hoje é que o valor da sérieroulette aGrandi não é 1, nem 0, nem 1/2: o resultado dessa soma infinita é nenhum.

Mas, se fosse algum, seria 1/2.